Kwanty

Mechanika kwantowa

Skrypt i ćwiczenia do wykładu z mechaniki kwantowej, który przedstawiłem na obozie w Załęczu, sierpień 2012.

Dołączyłem kilkanaście ćwiczeń. Odpowiedzi do nich zazwyczaj są dodane nieco niżej i zwinięte. Zalecam robienie tych ćwiczeń. Koniec tych odpowiedzi zaznaczony jest kwadratem:

$\Box$

Rysunki pochodzą z wikipedii.



Pojęcia, które pojawią się dalej.

Czy znasz takie pojęcia:

  • Liczby zespolone ($i^2 = -1$ oraz że $e^{ix}$ zakreśla okrąg jednostkowy)?
  • Szeregi ($\Sigma a_n$), funkcje wielu zmiennych ($f = f(x, y, z)$)?
  • Pochodne ($f'$, $df/dx$), całki ($\int f(x) dx$), równania różniczkowe ($y'' + \omega^2 y = 0$ daje drgania), funkcja wielu zmiennych, pochodna cząstkowa $\partial f/\partial x \neq df/dx$?
  • Prawdopodobieństwo, rozkład prawdopodobieństwa?
  • Elektronovolt (energia, jaką elektron uzyska przechodząc między punktami, między którymi jest 1 V potencjału) oraz stała Plancka $h = 2\pi\hbar$.
  • Wektory $u, v$, iloczyny skalarne $u\circ v$, macierze $M$, baza przestrzeni i jej zmiana?

Ponieważ z macierzami były największe problemy, to trochę rozwinąłem temat.

Wstęp matematyczny: iloczyny skalarne, macierze, bazy, komutatory

Iloczyn skalarny

Wektor (analitycznie) to uporządkowana n-ka liczb, zapisywana zazwyczaj w nawiasach okrągłych. Najczęściej się pisze je pionowo $u = ({1 \atop 0})$, albo (w tekście takim jak ten) poziomo, ale mając i tak na myśli obrócone (transponowane), np. tak: $(1, 0)^T$. W analityce strzałki się pomija, pisząc odpowiednią literę krojem grubym (lub półgrubym)1.

Anegdotka: dlaczego tak? Ano, leniwi fizycy z początku pisali tę strzałkę z połową grota, potem bez (czyli samą kreskę). Ta kreska niektórym kolidowała z innymi oznaczeniami, np. $^2$ lub ', więc zaczęli ją pisać u dołu. A to oznaczenie liter grubych.

Jeżeli $u$ to wektor, to przyjęło się pisać $u_i$, mając na myśli i-tą współrzędną tego wektora.

Definiuję zatem iloczyn skalarny dwóch wektorów $u, v$ (nad $\mathbb{R}$) jako funkcję $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ o odpowiednich własnościach. Generalnie jest to dobrze opisane on Wikipedia. Trzeba tylko pamiętać o kilku uwagach: dot product i inner product to polsku oddaje się tym samym terminem iloczyn skalarny; w Polsce używa się kółeczka $u \circ v$ a nie kropki $u \cdot v$, a najczęściej w ogóle nic nie pisze $uv$. Przyjęło się pisać $u^2$ zamiast $uu$.

Ćwiczenie. Narysuj sobie wektor $a = (3, 5)^T = ({3 \atop 5})$. Jak się zmienią współrzędne, jeśli odbijesz ten wektor względem: a) osi $x$, b) osi $y$, c) obu po kolei, d) osi $y=x$; e) po obrocie w lewo o 90 stopni, f) po obrocie o 180 stopni?


Ćwiczenie. Czy iloczyn skalarny jest a) przemienny, b) łączny lub c) rozdzielny względem dodawania?

Standardowy iloczyn skalarny jest dany przez $uv = \Sigma_i\ u_i v_i$, gdzie sumowanie przebiega po wszystkich współrzędnych.
Zauważmy, że iloczyn skalarny się zeruje wtedy i tylko wtedy, gdy te dwa wektory są prostopadłe: $uv = 0 \Leftrightarrow u\bot v$. W bardziej skomplikowanych przestrzeniach przyjmuje się to jako definicję prostopadłości (ortogonalności), wyobraźcie sobie np. wektory $a = (1, 2, -1)^T$ i $b = (1, -1, 2)^T$. Trochę ciężko, co?

Standardowo $||u|| = \sqrt{u^2}$ oznacza normę (długość) wektora. Wydłużanie lub skracanie wektora do długości 1 nazywamy normalizacją; robi się to tak: $v = \frac{1}{||u||} u$.

Uwaga. Nie będę mówił, co dokładnie oznacza transpozycja2; powiem tylko, że przy mnożeniu skalarnym wektora poziomego z pionowym ten pierwszy zawsze stoi z lewej; przyzwyczajajcie się do widoku $a^Tb$ a nie $ab^T$.
Ćwiczenie. Ortogonalność Gaussa i jego pochodnej. Policzyć pochodną Gaussa: $\frac{d}{dx} \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \exp (-x^2/2\sigma) =$ ?, a następnie iloczyn skalarny z Gaussem $\langle f | g \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) g(x) dx$.


Ćwiczenie. Ortogonalność sinusa i cosinusa. Sinus i cosinus są do siebie ortogonalne w odpowiednim iloczynie skalarnym. Nie może on być to dokładnie taki sam jak wyżej, bo źle całkuje się całki, które nie giną w nieskończoności; zatem w tym wypadku odpowiednim iloczynem skalarnym będzie $\int_0^{2\pi} \sin(x) \cos(x) dx =$?
Ćwiczenie. Udowodnij, że pochodna funkcji parzystej jest nieparzysta, i na odwrót.
Ćwiczenie. Udowodnij, że funkcja jest ortogonalna do swojej pochodnej, jeśli tylko obie znikają na granicach $a, b$ całkowania.


Macierze

Prostokąt z liczbami. Oznacza się dużymi literami łacińskimi, grubymi lub półgrubymi $A, B, M$. Liczbę taką (współrzędną macierzy) w i-tym wierszu i j-tej kolumnie pisze się $a_{i,j}$ (czasem bez przecinka). O współrzędnych, dla których $i = j$ mówi się, że stoją na lub tworzą (główną) diagonalę. Dodawanie jak z wektorami, po współrzędnych — zatem dodawać można tylko macierze o tej samej wysokości oraz szerokości. Macierz wypełniona samymi zerami nazywana jest macierzą… zgadliście, zerową. Macierz o jedynkach na diagonali i zerach poza nią nazywa się macierzą jednostkową lub identycznościową i oznacza3 $\mathbb{1}$ lub $\mathbb{I}$.

Macierze można transponować, $A^T = a_{ji}$, co odpowiada zamianie współrzędnych symetrycznie względem diagonali. Jeśli macierz spełnia $A = A^T$ to nazywa się ją symetryczną; istotnie wygląda ona symetrycznie (por. $S$ poniżej).
Można je też "gwiazdkować", czyli zamieniać elementy na sprzężone zespolonie. Te dwie operacje są przemienne, a ich jednoczesne wykonanie nazywa się "krzyżowaniem" (ang. dagger), $A^\dagger = a_{ji}^*$. Macierz spełniającą $A = A^\dagger$ nazywa się hermitowską. O krzyżowaniu będzie więcej na mechanice kwantowej.

Ale macierze na ogół się mnoży. W tym celu macierz z lewej traktuje się jak wektory poziome, a macierz z prawej jak kolejne wektory pionowe i mnoży się skalarnie każdy z każdym, wyniki zapisując w macierzy wynikowej. Czyli jeżeli $A B = C$, to $C$ zadane jest poprzez $c_{ij} = \Sigma_k a_{ik}b_{kj}$. Do możliwości pomnożenia wystarczy warunek, żeby szerokość lewej była równa wysokości prawej. Na ogół jednak pracuje się na macierzach kwadratowych, których iloczyny są tej samej wielkości.

Ważna własność: w ogólności mnożenie macierzy jest nieprzemienne, $AB \neq BA$. Za to jest łączne, $(AB)C = A(BC) = ABC$.

Ćwiczenie. Musisz wyćwiczyć mnożenie macierzy. To nic trudnego, tylko żmudnego: mnożenie dwóch macierzy $n\times n$ wymaga4 $O(n^3)$ mnożeń i dodawań; stąd na kolokwiach zazwyczaj pracuje się z macierzami $3\times 3$. Wymaga też sporej "stabilności obliczeniowej": małej liczby błędów rachunkowych. Możesz jeszcze popatrzeć na animację. Pewne przykłady do mnożeń:

  • $U = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 11 \end{array}\right); L = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & -1 \end{array}\right); D = \left( \begin{array}{ccc} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{array}\right); P = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right); S = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 5 \\ 0 & 5 & 1 \end{array}\right).$
  • Są to odpowiednio macierze górnotrójkątna (upper triangle matrix), dolnotrójkątna (lower), diagonalna, permutacji, symetryczna.
  • Policz
    • a) $LU, LU^T, U^TL$
    • b) $LUD$ (przypominam o łączności mnożenia), $SU$
    • c) $U^TL^T$
    • d) $PU, UP$

Bazy

W n-wymiarowej przestrzeni to n liniowo niezależnych wektorów. Jeśli wszystkie są do siebie prostopadłe, to bazę nazywa się ortogonalną; jeśli dodatkowo wszystkie mają długość 1, to bazę nazywa się ortonormalną. Istnieje algorytm ortonormalizacji bazy. Rozwinę temat, jeśli będzie zapotrzebowanie.

Komutatory

Komutatorem nazywam element przełączający napięcie w silniku elektrycznym. Żartuję! W matematyce to miara nieprzemienności mnożenia: $[A, B] = AB - BA$. Zwróćcie uwagę, że jeżeli akurat to mnożenie jest przemienne, to komutator wyniesie zero (i na odwrót). Komutatory pojawią się później na mechanice kwantowej. Na komutatorach zbudowano całkiem dużą teorię matematyczną algebr Lie'ego (no, jak zrozumiesz ten artykuł, to zasługujesz na lody).
Ćwiczenie. Policz komutatory $[L, U]$ oraz $[L, U^T]$ powyższych macierzy, a potem ich wyznaczniki.


Rys historyczny

Mechanika w zasadzie się zaczyna od Isaaca Newtona, który w II połowie XVII napisał $\vec{F} = m\ddot{\vec{x}}$. Haczyk! On tak nie napisał, to współczesny zapis jego idei5. Potem pojawiło się pojęcie potencjału $V$, który po zróżniczkowaniu da lokalną siłę. Później mechanika była rozwijana przez Lagrange'a, który wprowadził pojęcie współrzędnej uogólnionej $q$ służącej do opisu położenia (konfiguracji) układu; taką współrzędną może być np. kąt. Takie współrzędne zazwyczaj wprowadza się zgodnie z więzami, tj. ograniczeniami narzuconymi na układ. Np. jeśli kulka porusza się po stole, to nie ma możliwości podskoczenia; można nie wprowadzać $z$-towej współrzędnej. Dalej, z każdą taką współrzędną jest sprzężony odpowiedni pęd $p$. Stąd zapis energii kinetycznej jako $E = p^2/2m$, a nie $E = mv^2/2$. I najważniejsze: wprowadził lagranżjan $L$, funkcję tych współrzędnych kodującą zachowanie się układu: $L(q, p) = T - V$, tutaj $T$ oznacza energię kinetyczną. Potem jeszcze rozwijaniem metod mechaniki klasycznej zajmował się Hamilton, wprowadzając hamiltonian: $H = T + V$ (z grubsza).

Z drugiej strony pod koniec XIX wieku zaczęto odkrywać zjawiska niezrozumiałe na podstawie mechaniki klasycznej. Można tu wymienić promieniowanie ciała doskonale czarnego i katastrofę w nadfiolecie, ciepło właściwe wodoru inne niż tlenu, ciepło właściwe ciał stałych (klasycznie powinno być stałe), efekt fotoelektryczny, kłopoty ze sformułowaniem teorii budowy atomu, przewodnictwo elektryczne (jak się policzy, to elektron ma rozprasza się co kilka $\rm{\mu}$m, a nie na każdym atomie) i inne. Okazało się, że świat mikroskopowy zachowuje się niekiedy zupełnie inaczej, niż makroskopowy. Później doszło nadprzewodnictwo (1911) i doświadczenie Sterna-Gerlacha (1922), które pokazało, że nowa mechanika musi być matematycznie zapisywana konceptami nieprzemiennymi (macierze?!).

Można przyjąć, że przez całe pokolenie między rokiem 1900 (wykład Maxa Plancka wprowadzający kwanty światła, co dawało nowy rozkład promieniowania i wyjaśniało katastrofę w nadfiolecie) a 1926 (równanie Erwina Schrödingera) następowało stopniowe rozumienie matematyki stojącej za tymi zjawiskami. Warto podać tutaj także wyjaśnienie przez Alberta Einsteina zjawiska fotoelektrycznego (foton potrzebuje pewnej energii na wybicie elektronu z metalu, tzw. pracy wyjścia, która jest stała; 1905). Później Niels Bohr podał półklasyczny model atomu z jądrem i elektronami krążącymi wokół jądra, ale promieniującymi przy tym fale elektromagnetyczne tylko przy zmianach orbit.

W 1926 roku, po podaniu podstawowego równania (nierelawistycznego), po prostu rozwiązał się worek z prezentami. W bardzo krótkim czasie rozwiązano wszystkie podstawowe problemy: studnie, oscylatory, tunelowania itd. W 1929 jak Paul Dirac opublikował swoje równanie relatywistyczne, to nierelatystyczna już tylko była stosowana w kolejnych przypadkach (no, trochę przesadzam, powstały takie idee jak metoda WKB, macierz gęstości i chyba nawet rachunek zaburzeń).

Ćwiczenie. Model Bohra. Z mechaniki klasycznej powinniście pamiętać, że satelita poruszający się po okręgu potrzebowałby pewnej energii (energii wiązania), aby odlecieć do nieskończoności. Wynik ten nie zależy od tego, czy siła jest grawitacyjna, czy elektromagnetyczna. Rozważmy proton i krążący wokół niego elektron. Dla uproszczenia przyjmijmy, że proton jest nieskończenie ciężki wobec elektronu: $m_p \gg m_e$.

  1. Jeżeli energia wiązania wynosi 1 Ry = -13,6 eV, to jaki promień $r$ ma ta orbita?
  2. Jaką prędkość ma ten elektron? Masa elektronu: 511 keV/c$^2$, $\hbar = 6{,}6 \cdot 10^{-16}$ eV s.
  3. Ile wynosi wtedy moment pędu $\vec{L} = \vec{r}\times\vec{p}$ w jednostkach $\hbar$?
  4. Gdyby moment pędu wyniósł $L = 2\hbar$, to ile wyniosłaby energia wiązania?


Postulaty mechaniki kwantowej

Mechanika kwantowa wymaga masy matematyki; głównie dlatego uczona jest dopiero na trzecim roku. Ale na pewnym etapie przedstawiane tu idee są już całkiem naturalne.

Teorię tę najłatwiej wprowadzać jako abstrakcyjną teorię opartą o pewne aksjomaty. Po prostu wykładowca nie musi odpowiadać na pytania „dlaczego tak?”. Więc lecimy:

  1. Wprowadzamy pojęcie funkcji falowej $|\Psi\rangle$.
    • Funkcja ta przyjmuje jako argumenty położenie układu w (czaso)przestrzeni (zazwyczaj — konfiguracyjnej). Jako wynik zwraca liczbę zespoloną. O ile nie mamy do czynienia z relatywistyką lub polem magnetycznym (które samo z siebie jest zjawiskiem relatywistycznym), to funkcje zazwyczaj są rzeczywiste.
    • Wprowadzamy iloczyn skalarny (inner product) w postaci odpowiedniej całki po całej przestrzeni: $\langle \phi | \psi \rangle\ = \int \phi^*(x, y, z) \psi(x, y, z)\ dx dy dz$. Trzeba pamiętać o gwiazdkowaniu pierwszej funkcji.
    • Kwadrat jej modułu interpretuje się jako gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym miejscu. Stąd wynika warunek normalizacji $\psi$: $\langle \psi | \psi \rangle\ = 1$.
    • Przyjęło się pisać $|\Psi\rangle$ na funkcję zależną od czasu, a $|\psi\rangle$ — na niezależną. Żeby zamienić keta $|\psi\rangle$ na bra, trzeba tego keta skrzyżować: $\langle\psi| = |\psi\rangle^\dagger$. Mając na myśli postać matematyczną funkcji, będę pisał $\psi$ bez keta (bra).
  2. Wprowadzamy pojęcie operatorów.
    • W matematyce operatory można by zdefiniować jako funkcje zamieniające jedne funkcje na inne funkcje. Np. rozważmy operator różniczkowania $d/dx$ (pokaz wygody notacji Leibnitza). Operator ten zjada pewne funkcje. Jakie? To oczywiste, jadalne (różniczkowalne). Po strawieniu operator wypluwa pochodną, $\frac{d}{dx} f = \frac{df}{dx}$. Zauważcie, że druga pochodna to dwukrotne różniczkowanie funkcji: $\frac{d}{dx} \left( \frac{d}{dx}f \right)$. Można jednak rozważyć operator drugiej pochodnej, składając dwa operatory różniczkowania: $\frac{d}{dx} \frac{d}{dx} = \frac{d^2}{dx^2}$.
    • W mechanice kwantowej każdej wielkości obserwowanej przypiszemy operator. Operatory przypisane klasycznym wielkością oznacza się tą samą literą, tylko z daszkiem. Np. położenie $x$ ma przypisany operator $\hat{x}$ mnożenia przez $x$ (czyli $\hat{x}\psi = x\psi$). X-owa składowa pędu $p_x$ ma przypisany $\hat{p_x} = \frac{\hbar}{i} \frac{d}{dx}$. Tzw. pierwsza kwantyzacja polegała na dopisaniu w klasycznych hamiltonianach daszków i zamianie klasycznych komutatorów $\left\{G, H \right\}$ na kwantowe $[G, H]$, które zdefiniowałem powyżej; technicznie łatwe, ale filozoficzny skok był olbrzymi.
    • Ponieważ mierzyć można tylko liczby rzeczywiste, to z tego powodu wszystkie operatory odpowiadające obserwablom są hermitowskie: $\hat{A}^\dagger = \hat{A}$.
    • Można zapamiętać, że jeśli $A$ działa na keta $|\psi\rangle$stojącego z prawej strony, to $A^\dagger$ działa na bra z lewej strony: $\langle\psi|A^\dagger$.
    • Uwaga: czasem pomija się daszki.
  3. Przyjmujemy jako dane równanie Schrödingera.
(7)
\begin{align} i\hbar \frac{\partial|\Psi\rangle}{\partial t} = \hat{H} |\Psi\rangle, \end{align}

gdzie po prawej stronie stoi hamiltonian (operator Hamiltona):

(8)
\begin{align} \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \hat{V}(\vec{r}, t), \end{align}

gdzie potencjał $\hat{V}$ w ogólności może zależeć od położenia i czasu. Jeśli jednak w danym zagadnieniu nie zależy od czasu, to wtedy i hamiltonian nie zależy od czasu.
Można wyprowadzić elegancką wersję niezależną od czasu:

(9)
\begin{align} \hat{H}\psi = E\psi. \end{align}

Pamiętać tylko trzeba, że w tym daszku siedzi mnóstwo powyższej wiedzy.


Ćwiczenie. Policzyć komutator $[\hat{x}, \hat{p_x}]$.


Przykłady

Cząstka swobodna

Cząstka swobodna to taka, która porusza się bez narzuconego potencjału, $V = 0$. Rozpisując hamiltonian i operator pędu dostaniemy

(15)
\begin{align} -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} \psi= E\psi \end{align}

Po wstawieniu ansatzu $\psi = \exp(\lambda x)$ i rozwiązaniu równania charakterystycznego dostaniemy

(16)
\begin{align} |\psi\rangle = \exp \left( \pm ix\sqrt{2mE/\hbar^2} \right), \end{align}

czyli wraz z poruszaniem w przestrzeni cząstce „kręci się faza”. Rozwiązanie to ma drobny problem: nie daje się znormalizować w przestrzeni rzeczywistej: nie wiemy, gdzie jest cząstka. Za to daje się dobrze znormalizować w przestrzeni pędów (do delty Diraca $\delta_p$): cząstka ma dokładnie określony pęd. Porównamy to z zasadą nieoznaczoności Heisenberga.

Potencjał schodkowy

Przyjmijmy $V = 0$ dla $x < 0$ oraz $V = V_0$ dla $x > 0$. Klasycznie cząstka doleciawszy do takiego potencjału albo przeleci na drugą stronę, jeśli ma dość energii $E > V_0$, albo się odbije. Kwantowo należy rozwiązać niezależne od czasu równanie Schrödingera w obu obszarach, a potem skleić $\psi$ i $\psi'$w $x = 0$.
Okaże się, że dla $E < V_0$cząstka jest swobodna po lewej stronie schodka, natomiast po prawej funkcja falowa zanika ekspotencjalnie do zera; zanik jest tym szybszy, im bardziej brakuje jej energii. Natomiast jeśli ma dość energii, to po prostu zwolni (albo się odbije). Tak! Cząstka może się odbić, nawet jeśli potencjał jest mniejszy od jej energii! Patrz rysunek po prawej, gdzie $T$ i $R$ to współczynniki transmisji (prawdopodobieństwo przejścia) i odbicia się (refleksu).
Image Unavailable
Klasyczne (linia przerywana) i kwantowe prawdopodobieństwa przejścia ($T$) i odbicia $R$ w zależności od stosunku energii cząstki do wysokości potencjału.

Bariera

Można wyobrazić sobie, że wysoki potencjał ma skończoną szerokość $a$. Z poprzedniego przykładu wiemy, że funkcja falowa nie zanikła do zupełnego zera. Cząstka może zatem przetunelować przez taką barierę, nawet gdy brakuje jej energii na to.

Nieskończona studnia kwantowa (prostokątna)

Obszar na zewnątrz studni jest zabroniony dla cząstki. W obszarze studni mamy równanie drugiego rzędu, które jest uzupełnione warunkiem znikania na jej granicy. Matematycznie jest to to samo równanie, które opisuje drgania struny gitarowej. Rozwiązaniem tak samo są na przemian cosinusy i sinusy. Tych stanów jest przeliczalnie wiele. Co ważne, najniższy stan (stan podstawowy) ma energię wyższą niż dno studni (energia stanu podstawowego lub energia drgań zerowych).

Skończona studnia kwantowa

Powyższy wynik przenosi się jakościowo na skończoną głębokość studni. Trzeba pamiętać tylko o kilku drobiazgach:
  • Ponieważ studnia jest skończona, to jak przy skończonej barierze cząstka może nieco wniknąć w obszar zabroniony (gdzie ma za mało energii), a funkcja falowa wtedy zanika ekspotencjalnie, tym wolniej, im cząstka ma większą energię.
  • Ponieważ studnia ma skończoną głębokość, liczba stanów związanych będzie skończona. Zawsze będzie przynajmniej jeden taki stan.
  • Dalej stany są na przemian symetryczne i antysymetryczne.
  • Dalej najniższy stan ma niezerową energię względem dna studni.
  • Taki jakościowy obraz (N stanów o określonych energiach) przenosi się także na studnie o innych kształtach.
  • Jeśli potencjał jest niesymetryczny, to i funkcje falowe będą skrzywione: ich maksimum będzie przesunięte w kierunku minimum potencjału.

Tego typu potencjały wytwarza się np. w półprzewodnikach, a przejścia między takimi stanami mogą służyć np. do zmuszenia diod do świecenia lub laserowania.

Image Unavailable
Dla przyjętej szerokości i głębokości studni wychodzą trzy rozwiązania. Zwracam uwagę na symetrie i zanik w obszarze zabronionym.

Kwantowy oscylator harmoniczny

Interesującym przypadkiem jest potencjał paraboliczny bądź oscylator harmoniczny. Powstaje on, gdy siła po wychyleniu z położenia równowagi daje się rozwinąć w szereg potęgowy względem tegoż wychylenia, a nieliniowe człony można pominąć dla małych wychyleń. Taką procedurę można zastosować dla praktycznie każdego położenia równowagi przy dowolnym pochodzeniu siły utrzymującej układ w położeniu równowagi7. To właśnie ta matematyczna ogólność opisu zapewnia uniwersalność modelu „masa na sprężynce”.

Ponieważ to tak uniwersalny przykład, chciałbym go rozwiązać trochę dokładniej, a nie tylko podać jakościowe cechy wyniku. W dodatku chciałbym przedstawić formalizm $\hat{a}^\dagger\hat{a}$. Skoro więc potencjał rośnie jak $x^2$, to rozpisując hamiltonian mamy

(19)
\begin{align} \left[ \frac{\hat{p}^2}{2m} + m\omega^2 x^2 \right]\psi = E\psi, \end{align}

gdzie $\omega$ to pewna dodatnia stała. Wprowadzam teraz operator

(20)
\begin{align} \hat{a} = (1/\sqrt{2}) (\hat{x}/x_0 + i\hat{p}/p_0), \end{align}

gdzie $x_0 = \hbar/\sqrt{2mE}$ i $p_0 = \sqrt{2mE}$ to charakterystyczny rozmiar problemu w przestrzeni zwykłej i pędów.
Ćwiczenie. Znaleźć $x_0$ i $p_0$ za pomocą analizy wymiarowej. (Jeśli nie znasz analizy wymiarowej, możesz przeczytać od razu odpowiedź, a na następne seminarium przygotować z niej referat).


Do pary do $\hat{a}$ powinniśmy dodać jeszcze $\hat{a}$ „krzyż”, czyli sprząc hermitowsko $\hat{a}$: $\hat{a}^\dagger = (\hat{x}/x_0 + i\hat{p}/p_0)^\dagger(1/\sqrt{2})^\dagger$. Pamiętając, że tu występują stałe rzeczywiste (z wyjątkiem $i$), a $\hat{x}$ oraz $\hat{p}$ są hermitowskie, całe to krzyżowanie sprowadza się tu do zamiany $i$ na $-i$:(21)
\begin{align} \hat{a}^\dagger = (1/\sqrt{2}) (\hat{x}/x_0 - i\hat{p}/p_0). \end{align}

Do policzenia jest jeszcze komutator tych dwóch operatorów:
Ćwiczenie. Policzyć $[\hat{a}, \hat{a}^\dagger ]$.


Teraz chcemy wstawić $\hat{a}$ i $\hat{a}^\dagger$ do naszego wyjściowego równania $\hat{H}\psi = E\psi$. W tym celu trzeba odwrócić równania (20) i (21), wstawić do (19) i uprościć. Żmudne? Nie płacz. Zamknij się i licz!

Leniwcy mogą poczytać wikipedię. Albo od razu zobaczyć wynik:

(22)
\begin{align} \hat{H} = (\hat{a}^\dagger \hat{a} + 1/2)\hbar\omega. \end{align}

Wprowadzimy jeszcze operator liczący $\hat{N} = \hat{a}^\dagger \hat{a}$. Zauważmy, że to hamiltonian z dokładnością do stałych, a zatem jego stany własne $|n\rangle$ są stanami własnymi hamiltonianu (mają określoną energię).
Warto wiedzieć jeszcze, jak działają operatory $\hat{a}$ i $\hat{a}^\dagger$ na te stany:

(23)
\begin{align} \hat{a}|n\rangle = \sqrt{n}|n-1\rangle \end{align}
(24)
\begin{align} \hat{a}^\dagger |n\rangle = \sqrt{n+1}|n+1\rangle \end{align}
(25)
\begin{align} \hat{a} |0\rangle = 0 \end{align}

Rozwiązanie już blisko!
Ćwiczenie. Jak działa złożenie $\hat{a}^\dagger \hat{a}$ na stan $|n\rangle$?

Dostajemy drabinkę energii, w której:
  • Szczeble odsunięte są od siebie o $\hbar\omega$.
  • Najniższy szczebelek jest na wysokości $0{,}5\ \hbar\omega$.
  • Operatory $\hat{a}$ i $\hat{a}^\dagger$ odpowiednio obniżają i podwyższają stan o jeden szczebel. Dlatego są one zwane odpowiednio operatorami kreacji i anihilacji (kwantu energii w układzie).
  • Funkcję falową stanu podstawowego $|0\rangle$ można otrzymać z ostatniego równania (25). Dla jednowymiarowego oscylatora harmonicznego wychodzi Gauss.
  • Funkcje falowe kolejnych stanów możemy otrzymać wchodząc o $n$ szczebli, czyli działając $n$ razy operatorem kreacji na $|0\rangle$.
Image Unavailable
Funkcje falowe kwantowego oscylatora harmonicznego na tle potencjału.

Ćwiczenie. Znaleźć funkcję falową stanu podstawowego $|0\rangle$, rozwiązując (25).


Dalsze idee

Zasada nieoznaczoności Heisenberga

Komutatory są ważne, ponieważ obserwable, których operatory komutują, są mierzalne równocześnie. I na odwrót: jeśli operatory nie komutują, nie można tych wielkości zmierzyć jednocześnie dokładnie8.

Powyższe zdanie można nawet wyrazić ilościowo. Jeśli $[\hat{A}, \hat{B}] = i\hat{C}$, to

(33)
\begin{align} \sigma_a^2\sigma_b^2 \ge\ \langle \hat{C}\rangle/2, \end{align}

gdzie $\langle\hat{C}\rangle$ oznacza $\langle\psi|\hat{C}|\psi\rangle$, czyli odpowiednią całkę. Typowym przykładem jest para operatorów $x$ i $p_x$. Stąd cząstka swobodna, która ma dobrze określony pęd, ma źle określone położenie. A także elektron w studni kwantowej, który ma częściowo określone położenie, musi mieć niezerowy pęd. Nawet ogólniej, każda para: współrzędna uogólniona i sprzężony z nią pęd tutaj podpada. Ale tylko „swoje”; „cudze” już nie. Np. $[y, p_x]$ = 0, co oznacza, że składową $y$ pędu mogę zmierzyć jednocześnie z położeniem na innej, prostopadłej osi $x$.

  • Uwaga. Zasada nieoznaczoności Heisenberga może zależeć od stanu, który podlega pomiarowi.
  • Parą na specjalnych zasadach jest energia i czas, która też spełnia zasadę Heisenberga.

Degeneracja

Może się zdarzyć, że kilka różnych stanów ma tę samą energię. Zazwyczaj dzieje się tak, jeśli układ ma dużo symetrii. Jeśli zaczniemy powoli włączać parametr znoszący (częściowo) tę symetrię, to te poziomy energetyczne ulegną rozszczepieniu. Przykładami takiego zachowania jest efekt Zeemana (odkryty jeszcze w XIX w.) oraz analogiczny efekt Starka.



Podsumowanie

Mechanika kwantowa wyjaśnia wiele nieintuicyjnych efektów, które są w ogóle niezgodne z mechaniką klasyczną. Wiele zjawisk ma dzięki niej bardzo dokładnie przewidziane i zmierzone wartości, przekraczające czasem dziesięć cyfr znaczących.

Rozwiązywanie zadań z mechaniki kwantowej wymaga czasem bardzo silnej matematyki. Powiem więcej, rozwój tej teorii fizycznej był impulsem do rozwoju teorii matematycznych, np. macierzy, teorii grup symetrii ($GL(n), SO(n), SU(n)$).

Mam nadzieję, że przedstawione powyżej idee, a także rachunki okażą się, oczywiście po włożeniu pewnego wysiłku w to, zrozumiałe. I że po zrozumieniu tego powiecie sobie: „Jak to dobrze rozumieć!”

O ile nie zaznaczono inaczej, treść tej strony objęta jest licencją Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License